Eine Galois-Kategorie ist in der algebraischen Geometrie und der Topologie eine Kategorie, die äquivalent zur Kategorie der endlichen Mengen mit stetiger Wirkung einer profin­ten Gruppe auf deren Elemente ist. Sie ermöglichen eine kategorielle Beschreibung der Fundamentalgruppe und verallgemeinern die klassische Galois-Theorie.

Der Begriff geht auf Alexander Grothendieck zurück, der ihn in SGA 1 zur kategorientheoretischen Beschreibung der Fundamentalgruppe einführte.

Definition Nach Grothendieck gibt es zwei äquivalente Beschreibungen einer Galois-Kategorie.

Sei die Kategorie der endlichen Mengen.

Sei ein Objekt einer Kategorie und eine endliche Untergruppe von . Ein Quotient von nach ist ein Objekt mit einem Morphismus , sodass für alle gilt und jeder -invariante Morphismus eindeutig über faktorisiert.

Definition Eine Kategorie heißt Galois-Kategorie, wenn sie äquivalent zu einer Kategorie ist, wobei eine profinite Gruppe ist und die Kategorie der endlichen Mengen mit einer stetigen Wirkung von auf deren Elemente bezeichnet.

Die profinite Gruppe wirkt auf die Elemente der endlichen Mengen.

Axiomatische Definition Eine Kategorie heißt Galois-Kategorie, wenn ein kovarianter Funktor existiert und folgende Bedingungen erfüllt sind: besitzt ein Endobjekt und das Faserprodukte zweier Objekte über einem dritten existiert in (äquivalent besitzt alle endlichen projektiven Limites). besitzt endliche Koprodukte sowie Quotienten von Objekten nach endlichen Gruppen von Automorphismen. Jeder Morphismus lässt sich als

faktorisieren, wobei ein strikter Epimorphismus und ein Monomorphismus ist, der auf einem direkten Summanden von ein Isomorphismus ist. Der Funktor ist linksexakt, d. h. er bildet das Endobjekt auf ein Endobjekt ab und kommutiert mit Faserprodukten. Der Funktor kommutiert mit endlichen Koprodukten, bildet strikte Epimorphismen auf Epimorphismen ab und kommutiert mit der Quotientenbildung nach einer endlichen Gruppe von Automorphismen. Ist ein Morphismus in und ein Isomorphismus, so ist auch ein Isomorphismus.

Modernere axiomatische Definition Eine Kategorie heißt Galois-Kategorie, wenn ein kovarianter Funktor existiert und folgende Bedingungen erfüllt sind: besitzt ein Endobjekt und endliche Faserprodukte. besitzt endliche Koprodukte sowie Quotienten nach endlichen Gruppen von Automorphismen. Jeder Morphismus lässt sich als faktorisieren, wobei ein strikter Epimorphismus und ein Monomorphismus ist, der auf einer direkten Komponente von ein Isomorphismus ist. Der Faserfunktor bildet Endobjekte auf Endobjekte ab und kommutiert mit Faserprodukten. Der Faserfunktor kommutiert mit endlichen Koprodukten und Quotienten nach endlichen Gruppen von Automorphismen und bildet strikte Epimorphismen auf strikte Epimorphismen ab. Ein Morphismus in ist genau dann ein Isomorphismus, wenn ein Isomorphismus ist.

Hauptsatz der Galois-Kategorien Sei eine Galoiskategorie und ein Faserfunktor. Dann definiert man die Fundamentalgruppe von bezüglich als die Gruppe der natürlichen Automorphismen von

für zwei Faserfunktoren die Menge der natürlichen Isomorphismen zwischen und .

Der Hauptsatz der Galois-Kategorien besagt: Jeder Faserfunktor induziert eine Äquivalenz . Für je zwei Faserfunktoren ist nicht leer. Die profiniten Gruppen und sind nichtkanonisch isomorph, wobei der Isomorphismus bis auf inneren Automorphismus bestimmt ist. Insbesondere ist ihre Abelianisierung bis auf kanonischen Isomorphismus unabhängig von der Wahl des Faserfunktors.

Einzelnachweise

Kategorie:Algebraische Geometrie