Die Barnes-Evans-Relation setzt die Leuchtkraft bzw. indirekt die Flächenhelligkeit eines Sterns in eine Beziehung zu seinem V-R-Farbindex im UBVRI-System, welches Sterne anhand ihrer Leuchtfarbe charakterisiert.
Sie wurde 1976 von den amerikanischen Astrophysikern Thomas G. Barnes und David S. Evans veröffentlicht. Zwar existierten bereits vor Veröffentlichung der Relation Formalismen für eine farbindex-abhängige Berechnung der Leuchtkraft von Sterne, allerdings gelang Barnes und Evans erstmals eine weitaus umfangreichere Bestätigung dieses Zusammenhangs auch für kühlere Spektralklassen bis M8, da sie im Gegensatz zu früheren Forschern auf umfangreiche Daten eines Sternbedeckungs-Programmes am McDonald-Observatorium zugreifen konnten, welches die zum Beweis der Theorie notwendigen Winkeldurchmesser verschiedener stellarer Objekte lieferte.
Überblick Betrachtet man zunächst den allgemeinen Zusammenhang, dass die Leuchtkraft eines Sterns proportional zur 2. Potenz seines Lineardurchmessers und zur 4. Potenz seiner Effektivtemperatur ist, dann gilt folglich mathematisch:
Verwenden wir nun die Sonne als Kalibrierungspunkt, so kann man leicht mithilfe der bolometrischen Korrektur , des Winkeldurchmessers und der scheinbaren Helligkeit im visuellen Spektrum des betrachteten Sterns die Gleichung für die Leuchtkraft eines Sterns herleiten. Sie lautet:
Ein Hauptziel der Barnes-Evans-Relation war es nämlich, zu zeigen, dass die Rechenverfahren basierend auf der bolometrischen Korrektur oder der Effektivtemperatur zwar korrekte Ergebnisse liefern, allerdings dieselben Ergebnisse auch aus leichter Messbaren Größen wie der scheinbaren Helligkeit und dem Winkeldurchmesser eines Sterns ermittelt werden können, was eine deutlich gesteigerte, praktische Anwendbarkeit mit sich bringt.
Dabei wird der Wert der rechten Seite der Gleichung im Folgenden als bezeichnet. Es gilt also für :
Wie man nun erkennen kann, ist der Wert nun linear mit der scheinbaren Helligkeit im visuellen Spektrum verknüpft und kann mit einem bekannten Winkeldurchmesser konkret berechnet werden.
Dieser Leuchtkraft-Parameter hängt dabei wie folgt mit der Oberflächen-Flussdichte (Einheit: Energie pro Fläche und Zeit) wie folgt zusammen:
, wobei eine beliebige Konstante bezeichnet, die von der betrachteten Längeneinheit abhängig ist.
Wichtig ist außerdem, dass der Wert für ohne Berücksichtigung von Störeffekten wie der interstellaren Extinktion berechnet wird, da die Abweichungen, die sich aus dieser Störquelle ergäben, laut vorangegangenen Studien von Warner (1972) und Dunham et al. (1973) zu vernachlässigen sind, denn auch Barnes und Evans stellten fest, dass bei keinem der von ihnen untersuchten Sterne der Wert von um mehr als wenige Zehntelmagnituden schwanken würde, wenn die Extinktion berücksichtigt würde.
Außerdem stellten Barnes und Evans fest, dass sich die Rötungslinien, die bei den Reflexions- und Brechungseffekten des Sternenlicht in den Atmosphärenschichten der Erde auftreten (Extinktion), in verschiedenen Diagrammen wiedererkennen lassen, wenn man die Größe wahlweise in Abhängigkeit vom V-R-, B-V- oder R-I-Farbindex im UBVRI-System aufträgt. Allerdings müssen für weiter entfernte Sterne relativ aufwendige Verfahren angewendet werden, um Störeffekte in den Messwerten auszuschließen. Solche Sterne wurden bei den Berechnungen durch Barnes und Evans zunächst absichtlich ausgespart, um mit sicheren Messwerten zunächst die allgemeine Korrelation zwischen Farbindex und Leuchtkraft zu beweisen.
Ebenfalls durften, um die verschiedenen Werte für Winkeldurchmesser diverser Sterne vergleichbar zu machen, nur diejenigen Werte von externen Quellen herangezogen werden, die etwa im gleichen Wellenlängenbereich wie die Winkeldurchmesser, die das McDonald-Observation ermittelt hatte, denn sowohl Bonneau und Labeyrie (1973) und Currie, Knapp und Liewer (1974) hatten bereits vermutet, dass der Winkeldurchmesser bei Sternen sehr später Spektralklassen von der Wellenlänge, welche man bei der Messung selektiert, abhängig sein könnte und diesen Effekt galt es dadurch möglichst zu minimieren. Im konkreten Fall von Barnes und Evans entschied man sich für eine Wellenlänge zur Messung des Winkeldurchmessers von etwa 7000 Å.
Da auch veränderliche Sterne untersucht wurden, musste unbedingt versucht werden, an photometrische Daten (also Werte von verschiedenen UBVRI-Farbindizes) zur etwa gleichen Zeit, zu der die Messung des Winkeldurchmessers des betrachteten Sterns stattfand, zu gelangen, um zeitlich bedingten Schwankungen im Spektrum vorzubeugen. Außerdem wurden einige Transformationen zwischen dem UBVRI-System nach Johnson (1966) und dem Narrow-Band-System von Eggens, der 1969 selbst eine solche Transformation entwickelte, die man nun auch nutzte.
Der B-V-Farbindex als Argument der Leuchtkraft-Funktion Fv Zwar konnte für den Wert in Abhängigkeit vom B-V-Farbindex eine lineare Kurve auf der Basis verschiedener Beobachtungsdaten von Sternen erhalten werden, jedoch nur im Intervall . Nach einem Wert für B-V von 1,5 mag nehmen Störeffekte zu, denn tatsächlich führt das in der Atmosphäre kühler Sternen enthaltene Titanoxid zu einer starken Verschleierung im Spektrum des Sternenlichts. Deswegen bricht die Linearität ab diesem Wert mehr und mehr zusammen. Diese typischen Abweichungen sind auch in der nebenstehenden Abbildung für die Sterne spätester Spektralklasse R Leo und o Cet gut zu erkennen. mini|219x219px|Der Leuchtkraft-Parameter Fv in Abhängigkeit vom B-V-Farbindex (Auswahl einiger Sterne) Da die aufwendige Korrekturfunktion die Nather und Wild (1973) in einer Studie entwickelt haben, um die Titanoxid-Schleier aus den Sternenspektren herausfiltern erhebliche Unsicherheiten mit sich bringt, entschieden sich Barnes und Evans dafür die Funktion nur innerhalb des oben genannten Intervalls von B-V zu definieren, wodurch sie ähnlich wie schon Warner (1972), der einen Linearkoeffizienten von 0,365 angab, auf folgende Gleichung:
Mit 0,333 liegt der Linearkoeffizient, den Barnes und Evans ermittelten, also sehr nahe bei Warner aus dem Jahre 1972.
Da die lineare Beziehung zwischen dem Wert und B-V-Farbindex als Argument nur für ein kleines Intervall konsistent war, suchten Barnes und Evans nach einem anderen Farbindex aus dem UBVRI-System, der eine breitere Linearität zu aufweist.
Der U-B-Farbindex als Argument der Leuchtkraft-Funktion Fv Der U-B-Farbindex konnte als mögliches Argument einer Funktionsvorschrift für schnell gegenüber dem zuvor untersuchten B-V-Index ausgeschlossen werden, da unter anderem Smak (1964) gezeigt hatte, dass besonders Mira-Sterne, für die die Relation durch Barnes und Evans ebenfalls gezeigt werden sollte, aufgrund der Balmer-Emissionslinien starke und unregelmäßige Schwankungen im U-B-Farbindex aufzeigen.
Der V-R-Farbindex als Argument der Leuchtkraft-Funktion Fv Eines der Hauptergebnisse, welches die Studie von Barnes und Evans hervorbrachte, ist die Bestätigung eines linearen Zusammenhangs zwischen dem Wert und dem V-R-Farbindex für verschiedenste Sterne in einem breiten Intervall, wobei folgende mathematische Beziehungen auf Basis zahlreicher Messdaten von Winkeldurchmessern, scheinbaren Helligkeiten und Farbindizes berechnet wurden: mini|Der Leuchtkraft-Parameter Fv in Abhängigkeit vom V-R-Farbindex (Auswahl einzelner Sterne) für das Intervall
für das Intervall
sowie darüber hinaus:
für das Intervall
Aufgrund der Vielzahl an Sternentypen, deren Werte durch Barnes und Evans untersucht wurden, kann begründet vermutet werden, dass diese Beziehungen sowohl für S-Sterne, rote (Über-)Riesen, Mira-Sterne und Kohlenstoffsterne gültig sind und somit eine breite Anwendbarkeit in der Astronomie besitzen.
Da insbesondere die Daten über die veränderlichen (Mira-)Sterne unabhängig von ihrer zyklischen Entwicklungsphase trotzdem zu einer feststellbaren Korrelation des Wertes mit dem V-R-Farbindex geführt haben, kann davon ausgegangen werden, dass die Barnes-Evans-Relation weitgehend unabhängig von veränderlichen Sternphasen ist. Des Weiteren wurde die Linearität zwischen und dem V-R-Farbindex für den gesamten Spektralklassen-Bereich von O5 (konkreter Stern: ζ Pup) bis M8 (konkreter Stern: R Leo) nachgewiesen werden. Ausschließlich o Cet bildet einen Ausreißer im obigen Diagramm einiger untersuchter Sterne.
Eine spätere Studie von Barnes et al. (1977) ergab speziell für Sterne der Spektralklassen A bis G eine korrigierte Korrelation. Sie lautet:
für das Intervall
Der R-I-Farbindex als Argument der Leuchtkraft-Funktion Fv Zwar ergibt sich auch lineare Zuordnung für den R-I-Farbindex als Argument der Größe , allerdings nicht in einem so großen Definitionsbereich, denn sie lautet nach Barnes und Evans: alternativtext=|mini|Der Leuchtkraft-Parameter Fv in Abhängigkeit vom R-I-Farbindex (Auswahl einiger Sterne) für das Intervall
Die teilweise starken Abweichungen von der linearen Zuordnungsvorschrift für Werte für den R-I-Index außerhalb des ermittelten Intervalls können nicht ausschließlich auf Messungenauigkeiten zurückgeführt werden, sodass wahrscheinlich Störeffekte molekularer Schleier auf das Lichtspektrum der untersuchten Sterne dafür verantwortlich sind. Siehe dazu auch diverse Beispielsterne in der Abbildung rechts.
Entstehungsgeschichte Bereits 1969 hatte der niederländische Astronom Adriaan Wesselink eine gewisse lineare Korrelation zwischen einem ähnlichen Wert wie dem später von Barnes und Evans benutzten Leuchtkraft-Parameter und dem B-V-Farbindex beobachten können. Für kleine (ca. bis 1,5 mag) Werte des B-V-Farbindizes konnte Wesselink eine gute lineare Näherung berechnen, wobei allerdings nur 4 von 19 der durch ihn untersuchten Sterne eine Spektralklasse unterhalb von F5 besaßen, sodass die Korrelation nur für Sterne früher Spektralklassen einigermaßen glaubwürdig durch Evidenzen gestützt werden konnte.
Der amerikanische Astronom Brian Warner nahm diese Erkenntnisse 1972 zum Anlass, diese Linearität auch für vier weitere Sterne bekannter Winkeldurchmesser zu prüfen und kam somit zu der begründeten Vermutung, dass die von Wesselink entdeckte Linearität zudem auch für Sterne bis einschließlich zur Spektralklasse M2 Gültigkeit besäße. Allerdings musste Warner dafür annehmen, dass es sich bei den Sternen μ Gem und α Her um Ausreißer handele, die die ansonsten gültige Korrelation nicht bestätigen könnten, sodass er diese von seinen Auswertungen exkludierte.
Jedoch konnten Harwood et al. Warners Vermutung 1975 auf Basis diverser Messwerte von Winkeldurchmessern verschiedener Sterne mit der Okkultationstechnik, die hauptsächlich am South African Astronomical Observatory entstanden, bestätigen.
Barnes und Evans konnten ab Beginn der 1970er-Jahre erstmals auf eine umfangreiche Sammlung von Messwerten, d. h. Winkeldurchmesser und photometrische Daten, von Sternen später Spektralklassen („rote Sterne“) aus einem Programm des McDonald-Observatory zugreifen. Mithilfe dieser Daten konnte, dann nicht nur die Linearität zwischen dem Leuchtkraft-Parameter innerhalb eines bestimmten Intervalls (siehe dazu Überblick) mit größerer Sicherheit bestätigt werden, sondern auch der U-B- und der R-I-Farbindex als ungeeignet als Argument einer Funktion ausgeschlossen werden. Hauptsächlich fanden Barnes und Evans aber heraus, dass sich die stabilste Korrelation für den vorher wenig beachteten V-R-Farbindex ergibt.
Aufgrund der großen Anzahl an Messwerten von Winkeldurchmessern verschiedener Sterne, die entweder während der Okkultation oder mittels anderer Verfahren ermittelt wurden, konnten Barnes und Evans außerdem zeigen, dass, wenn man bloß die Wellenlänge, auf welcher effektiv gemessen wird, vereinheitlicht, die unterschiedlichen Messverfahren überraschend identische Werte mit geringen Abweichungen liefern, sodass Golds Hypothese, der die Okkultationsmessung 1954 als ungenau bezeichnete, endgültig widerlegt werden konnte.
Anwendungen