Die Regel der Mittelzahlen () ist ein mathematischer Lehrsatz der elementaren Algebra und Zahlentheorie. Er formuliert zwei Ungleichungen, mit denen die so genannte Mediante zweier Brüche zu diesen in Beziehung gesetzt wird.Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990, S. 104Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 1983, S. 214 Der Satz wird dem französischen Mathematiker Nicolas Chuquet zugerechnet, der ihn im Jahre 1484 veröffentlichte.
Formulierung der Regel Sind reelle Zahlen mit In Eves’ Introduction to the History of Mathematics wird die Positivität der vier Zahlen vorausgesetzt, während im Lexikon bedeutender Mathematiker hierzu keine Voraussetzungen genannt sind. Jedenfalls muss der Fall ausgeschlossen werden. und , so gelten die Ungleichungen .
Eine entsprechende Aussage gilt auch, wenn anstelle des Kleinerzeichens das Kleiner-gleich-Zeichen vorliegt.
Man nennt den mittleren Bruch der Ungleichungskette die Mediante der beiden Ausgangsbrüche und . Die Regel der Mittelzahlen besagt also, dass die Mediante zweier (verschiedener) Brüche immer zwischen diesen beiden Brüchen liegt. Dies erklärt, warum man die Mediante als Mittelwert ansieht. Aus historischen Gründen wird dieser Mittelwert auch Chuquet-Mittel genannt.
Beispiel Für erhält man .
Geometrische Interpretation mini|Figur 1: Geometrische Veranschaulichung der Mediante
Die Regel der Mittelzahlen bzw. das Chuquet-Mittel lässt sich geometrisch interpretieren, indem man die Brüche als Steigungen von Strecken interpretiert: Die Steigung der Strecke liegt stets zwischen der Steigung der Strecke und der Steigung der Strecke (Figur 1).Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 143
Anmerkungen
Literatur Nicolas Chuquet: Triparty en la science des nombres. 1484 (zbmath) Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics (= The Saunders Series). 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia u. a. 1983, ISBN 0-03-062064-3, S. 214 (MR0684360) Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 103–104 (MR1089881).
Einzelnachweise
Kategorie:Elementare Algebra Kategorie:Satz (Zahlentheorie) Kategorie:Ungleichung Kategorie:Mittelwert